Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+3的單調遞減區間為(-

1

3

，1)，單調增區間為(-∞，-

1

3

)和（1，+∞）．
（1）求f（x）的解析式
（2）若t∈R，試討論關于x得方程f（x）=lnx+（2e-1）x²-（t+1）x+3的實數根的個數（e為自然數的底）

Answer 1

分析：（1）由題設得f'（x）=0的根為x=-

1

3

或x=1，由此求得a=b=-1，進而得到f（x）的解析式；
（2）方程f（x）=lnx+（2e-1）x²-（t+1）x+3可化為x2-2ex+t=

lnx

x

，令g(x)=x2-2ex+t，h(x)=

lnx

x

，分別利用導數求出函數g（x）的最小值與函數h（x）的最大值，對參數t分類討論，即可得到原方程的根的個數．

解答：解：（1）f'（x）=3x²+2ax+b（1分）
由題意設得f'（x）=0的根為x=-

1

3

或x=1（2分）
由此求得a=b=-1（3分）
故f（x）=x³=x²-x+3（4分）
（2）原方程可化為x2-2ex+t=

lnx

x

（5分）
令g(x)=x2-2ex+t，h(x)=

lnx

x

（6分）
則g(x)min=g(e)=t-e2（7分）
∵h′(x)=

1-lnx

x2

，h′(e)=0，
當0＜x＜e時，h'（x）＞0，當x＞e時，h'（x）＜0
∴h(x)max=h(e)=

1

e

（9分）
故，當t-e2＞

1

e

，即t＞e2+

1

e

時，原方程無實數根
當t-e2=

1

e

，即t=e2+

1

e

時，原方程有一個實數根；
當t-e2＜

1

e

，即t＜e2+

1

e

時，原方程有兩個實數根．（10分）

點評：考查利用導數研究函數的單調性和極值，以及方程根的存在性的判定，體現了分類討論思想，屬于中檔題．