Question

如圖，已知三棱錐O－ABC的側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=2，OB=3，OC=4，E是OC的中點(diǎn)．

（1）求異面直線BE與AC所成角的余弦值；

（2）求二面角A－BE－C的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（I）．（II）．

【解析】

試題分析：（I）以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

則有A（0，0，2），B（3，0，0），C（0，4，0），E（0，2，0）．

 

所以，cos<>．         

由于異面直線BE與AC所成的角是銳角，

所以，異面直線BE與AC所成角的余弦值是．   

（II），，

設(shè)平面ABE的法向量為，

則由，，得，

取，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013060309223654793954/SYS201306030923393784451593_DA.files/image013.png">

所以平面BEC的一個(gè)法向量為n₂＝（0，0，1），

所以．

由于二面角A－BE－C的平面角是n₁與n₂的夾角的補(bǔ)角，

所以，二面角A－BE－C的余弦值是．

考點(diǎn)：本題主要考查立體幾何中的垂直關(guān)系，角的計(jì)算。

點(diǎn)評(píng)：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問(wèn)題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟，應(yīng)用空間向量，使問(wèn)題解答得以簡(jiǎn)化。本解答利用了“向量法”，簡(jiǎn)化了證明過(guò)程，實(shí)現(xiàn)了“以算代證”。