Question

10．我邊防局接到情報，在海礁AB所在直線l的一側點M處有走私團伙在進行交易活動，邊防局迅速派出快艇前去搜捕．如圖，已知快艇出發位置在l的另一側碼頭P處，PA=8公里，PB=10公里，∠APB=60°．
（1）是否存在點M，使快艇沿航線P→A→M或P→B→M的路程相等．如存在，則建立適當的直角坐標系，求出點M的軌跡方程，且畫出軌跡的大致圖形；如不存在，請說明理由．
（2）問走私船在怎樣的區域上時，路線P→A→M比路線P→B→M的路程短，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）建立坐標系，利用雙曲線的定義，可得結論；
（2）走私船在直線l的左側，且在（1）中曲線的左側的區域時，路線P→A→M最短．

解答 解：（1）建立如圖所示的坐標系，|MA|-|MB|=2，

∴M的軌跡是雙曲線的右支，|AB|=$\sqrt{64+100-80}$=2$\sqrt{21}$，
∴$a=1，c=\sqrt{21}，{b}^{2}=20$，
∴M的軌跡方程是${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{20}$=1（x＞1，y＞0）；
（2）走私船在直線l的左側，且在（1）中曲線的左側的區域時，路線P→A→M最短．
理由：設AM的延長線與（1）中曲線交于點N，則PA+AN=PB+BN，
PA+AM=PA+AN-MN=PB+BN-MN＜PB+BM．

點評 本題考查利用數學知識解決實際問題，考查雙曲線的定義與方程，屬于中檔題．