Question

已知圓C₁的圓心在坐標原點O，且恰好與直線l₁：相切．
（Ⅰ）求圓的標準方程；
（Ⅱ）設點A（x，y）為圓上任意一點，AN⊥x軸于N，若動點Q滿足，（其中m+n=1，m，n≠0，m為常數），試求動點Q的軌跡方程C₂；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的結論下，當時，得到曲線C，問是否存在與l₁垂直的一條直線l與曲線C交于B、D兩點，且∠BOD為鈍角，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據圓與直線l₁：相切，利用點到直線的距離，求出圓的半徑，從而可求圓C₁的方程；
（Ⅱ）設出點的坐標，利用向量條件，確定動點坐標之間的關系，利用A為圓上的點，即可求得動點Q的軌跡方程C₂；
（Ⅲ）時，曲線C方程為，假設直線l的方程，與橢圓聯立，利用韋達定理及向量條件，利用數量積小于0，即可得到結論．
解答：解：（Ⅰ）設圓的半徑為r，圓心到直線l₁距離為d，則…（2分）
所以圓C₁的方程為x²+y²=4…（3分）
（Ⅱ）設動點Q（x，y），A（x，y），AN⊥x軸于N，N（x，0）
由題意，（x，y）=m（x，y）+n（x，0），所以…（5分）
即：，將代入x²+y²=4，得…（7分）
（Ⅲ）時，曲線C方程為，假設存在直線l與直線l₁：垂直，
設直線l的方程為y=-x+b…（8分）
設直線l與橢圓交點B（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
聯立得：，得7x²-8bx+4b²-12=0…（9分）
因為△=48（7-b²）＞0，解得b²＜7，且…（10分）
∴=
==…（12分）
因為∠BOD為鈍角，所以且b≠0，
解得且b≠0，滿足b²＜7
∴且b≠0，
所以存在直線l滿足題意…（14分）
點評：本題考查圓的標準方程，考查代入法求軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，解題的關鍵是直線與橢圓方程聯立，利用韋達定理進行求解．