Question

過點(diǎn)F（1，0）的直線l交拋物線C：y²=4x于A，B兩點(diǎn)．
（1）若|AB|=8，求直線l的方程；
（2）記拋物線C的準(zhǔn)線為l，設(shè)OA，OB分別交l于M，N兩點(diǎn)，△AOB與△MON的重心分別為G，H，求|GH|的最小值．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l的方程為x=ky+1，代入拋物線方程，根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系y₁+y₂，x₁+x₂=k（y₁+y₂）+2
（1）|AB|==8，代入可求k，進(jìn)而可求直線方程
（2）由重心坐標(biāo)公式可得，可求G
由直線OA的方程y=，與準(zhǔn)線相交得M（-1，-）；直線OB的方程y=x，與準(zhǔn)線相交得N（-1，-），從而可求H，而|GH|=x_G-x_H，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求
解答：解：設(shè)直線l的方程為x=ky+1，代入C：y²=4x可得y²-4ky-4=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則y₁+y₂=4k，x₁+x₂=k（y₁+y₂）+2=4k²+2
（1）|AB|==4k²+2+2=8
∴k=±1
故直線l的方程為x±y-1=0
（2）由重心坐標(biāo)公式可得，
∴G（）
直線OA的方程y=，與準(zhǔn)線相交得M（-1，-）
直線OB的方程y=x，與準(zhǔn)線相交得N（-1，-）
∴，==，故H（）
|GH|=x_G-x_H=即|GH|的最小值
點(diǎn)評：本題主要考察了利用拋物線的定義求解拋物線的焦點(diǎn)弦，主要利用了焦半徑公式，三角形的重心坐標(biāo)公式的應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵