Question

設(shè)函數(shù)，。

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）（i）設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，在上恰有一個(gè)使得；

（ii）求實(shí)數(shù)的取值范圍，使得對(duì)任意的，恒有成立。

注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。

 

Answer 1

【答案】

（1）的減區(qū)間是；增區(qū)間是 

（2）在上恰有一個(gè)使得.

（ⅱ）。

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，   1分

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

所以函數(shù)的減區(qū)間是；增區(qū)間是      3分

（2）（ⅰ）   4分

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013051911533600329925/SYS201305191154375657500214_DA.files/image019.png">，所以函數(shù)在上遞減；在上遞增    6分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013051911533600329925/SYS201305191154375657500214_DA.files/image023.png">，

所以在上恰有一個(gè)使得.    8分

（ⅱ）若，可得在時(shí)，，從而在內(nèi)單調(diào)遞增，而，

，不符題意。       

由（ⅰ）知在遞減，遞增，

設(shè)在上最大值為則，

若對(duì)任意的，恒有成立，則，    11分

由得，，

又，。    13

考點(diǎn)：本題主要考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，恒成立問題。

點(diǎn)評(píng)：典型題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問題，首先通過求導(dǎo)數(shù)，研究導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)情況，確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間。應(yīng)用同樣的方法，研究函數(shù)圖象的形態(tài)，明確方程解的情況。作為“恒成立問題”往往轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值。