Question

設命題P：“任意x∈R，x²-2x＞a”，命題Q“存在x∈R，x²+2ax+2-a=0”；如果“P或Q”為真，“P且Q”為假，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：由命題 P成立，求得a＜-1，由命題Q成立，求得a≤-2，或 a≥1．由題意可得p真Q假，或者 p假Q真，故有

a＜-1 -2＜a＜1

，或

a≥-1 a≤-2 ，或a≥1

．解這兩個不等式組，求得a的取值范圍．

解答：解：由命題 P：“任意x∈R，x²-2x＞a”，可得x²-2x-a＞0恒成立，故有△=4+4a＜0，a＜-1．
由命題Q：“存在x∈R，x²+2ax+2-a=0”，可得△′=4a²-4（2-a）=4a²+4a-8≥0，
解得 a≤-2，或 a≥1．
再由“P或Q”為真，“P且Q”為假，可得 p真Q假，或者 p假Q真．
故有

a＜-1 -2＜a＜1

，或

a≥-1 a≤-2 ，或a≥1

．
求得-2＜a＜-1，或 a≥1，即 a＞-2．
故a的取值范圍為（-2，+∞）．

點評：本題主要考查命題真假的判斷，二次不函數的性質，函數的恒成立問題，體現了分類討論的數學思想，屬于基礎題．