Question

第29屆奧運會在北京舉行．設數列a_n=log_n+1（n+2）（n∈N），定義使a₁，a₂，a₃，…，a_k為整數的實數k為奧運吉祥數，則在區間[1，2008]內的所有奧運吉祥數之和為

2026

．

Answer 1

分析：先利用對數的運算性質求出實數k，再對所有實數k值進行分組求和．

解答：解：a_n=log_n+1（n+2）=

lg(n+2)

lg(n+1)

，
a₁•a₂•a₃…a_k=

lg3

lg2

•

lg4

lg3

•

lg5

lg4

…

lg(k+2)

lg(k+1)

=

lg(k+2)

lg2

．
由題意知k+2=2²，2³，…，2¹⁰，
∴k=2²-2，2³-2，…，2¹⁰-2．
∴S=（2²+2³+…+2¹⁰）-2×9=

4(1-29)

1-2

-18=2026．
故答案為：2026．

點評：本題是對數列的概念及簡單表示法及對數運算性質及分組求數列和的綜合考查，是基礎題．