Question

下列敘述正確的是（　　）
（1）a²+b²+c²≥ab+bc+ca
（2）（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²
（3）當x＞0且x≠1時，lgx+

1

lgx

≥2
（4）函數f（x）=

sin2x+2

+

4

sin2x+2

，（x∈R）的最小值為4．

A．（1）（3）

B．（1）（2）（3）

C．（1）（2）

D．（1）（3）（4）

Answer 1

分析：（1）a²+b²+c²≥ab+bc+ca，可以用配方的方法判斷真假；
（2）（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²，可用作差法判斷真假；
（3）當x＞0且x≠1時，lgx+

1

lgx

≥2，利用基本不等式判斷真假；
（4）函數f（x）=

sin2x+2

+

4

sin2x+2

，（x∈R）的最小值為4，利用基本不等式判斷真假．

解答：解：（1）a²+b²+c²≥ab+bc+ca，此命題正確，因為a²+b²+c²-（ab+bc+ca）=

1

2

[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0，故正確；
（2）（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²，此命題正確，因為（a²+b²）（c²+d²）-（ac+bd）²=（ad-bc）²≥0，故命題正確；
（3）當x＞0且x≠1時，lgx+

1

lgx

≥2，由于x＞0時，lgx的值可能為負，故此命題不正確；
（4）函數f（x）=

sin2x+2

+

4

sin2x+2

，（x∈R）的最小值為4，由于利用基本不等式求此題的最值時，等號成立的條件不具備，故取不到最小值4，命題不正確．
綜上，只有（1）（2）是正確的
故選C

點評：本題考查基本不等式在最值問題中的應用，解答本題，關鍵是熟練掌握基本不等式求最值的規則：一正，二定，三相等，基本不等式在求最值問題中應用十分廣泛，掌握好其成立的條件及能靈活變形后運用基本不等式求最值是正確解題的關鍵