Question

已知函數f（x）=lnx+m-2f′（1），m∈R．函數f（x）的圖象過點（1，-2）且函數g（x）=

1

x

+af（x）在點（1，g（1））處的切線與y軸垂直，則g（x）的極小值為（　　）

• A、1
• B、-1
• C、2
• D、-2

Answer 1

分析：求出導函數，令x=1求出f′（1）的值，再將（1，-2）代入f（x）求出m的值；求出g′（x）令其x=1求出g′（1）=0求出a值；求出g′（x）=0的根，判斷出根左右兩邊的符號，求出極小值．

解答：解：∵f′(x)=

1

x

∴f′（1）=1
∴f（x）=lnx+m-2
∵函數f（x）的圖象過點（1，-2）
∴-2=m-2
∴m=0
∴f（x）=lnx-2
∴g(x)=

1

x

+alnx-2a
∴g′(x)=-

1

x2

+

a

x

∵在點（1，g（1））處的切線與y軸垂直
∴g′（1）=0即-1+a=0解得a=1
g′(x)=-

1

x2

+

1

x

令g′（x）=0得x=1
當x＞1時，g′（x）＞0；當0＜x＜1時，g′（x）＜0
所以當x=1時，g（x）有極小值g（1）=1-2=-1
故選B

點評：本題考查曲線的切線問題時，常利用的是切線的導數在切點處的導數值為切線的斜率；解決函數的極值問題唯一的方法是利用導數．