Question

已知變量x，y滿足約束條件

x+y-4≥0  x-y+2≥0  2x-y-5≤0

則f（x，y）=

x+2y

2x+y

的取值范圍是

[

5

7

，

7

5

]

．

Answer 1

分析：本題主要考查線性規劃的基本知識，先畫出約束條件

x+y-4≥0  x-y+2≥0  2x-y-5≤0

，的可行域，然后分析 f（x，y）=

x+2y

2x+y

的幾何意義，結合圖象，用數形結合的思想，即可求解．

解答：解析：畫出約束條件所表示的可行域如圖中陰影部分所示，
則f（x，y）=

x+2y

2x+y

=

1+2• y x

2+ y x

，令

y

x

=k，則f（x，y）=g（k）=

1+2k

2+k

=2-

3

2+k

．
而k=

y

x

表示可行域內的點P（x，y）與坐標原點O的連線的斜率，觀察圖形可知，k_OA≤k≤k_OB，而k_OA=

1

3

，k_OB=3，
∴

1

3

≤k≤3，即

5

7

≤f（x，y）≤

7

5

．
故答案為：[

5

7

，

7

5

]．

點評：平面區域的最值問題是線性規劃問題中一類重要題型，在解題時，關鍵是正確地畫出平面區域，分析表達式的幾何意義，然后結合數形結合的思想，分析圖形，找出滿足條件的點的坐標，即可求出答案．