Question

已知拋物線x²=4y，過原點作斜率1的直線交拋物線于第一象限內一點P₁，又過點P₁作斜率為

1

2

的直線交拋物線于點P₂，再過P₂作斜率為

1

4

的直線交拋物線于點P₃，…，如此繼續，一般地，過點P_n作斜率為

1

2n

的直線交拋物線于點P_n+1，設點P_n（x_n，y_n）．
（Ⅰ）令b_n=x_2n+1-x_2n-1，求證：數列{b_n}是等比數列．
（Ⅱ）設數列{b_n}的前n項和為S_n，試比較

3

4

Sn+1與

1

3n+10

的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把點P_n和P_n+1代入拋物線方程，進而可得x_n²=4y_n，x_n+1²=4y_n+1，進而表示出直線的斜率代入后求得xn+1+xn=

1

2n-2

代入b_n=x_2n+1-x_2n-1，求得

bn+1

bn

=

1

4

根據等比數列的定義推斷出該數列為等比數列．
（Ⅱ）根據等比數列的求和公式求得S_n，進而可求得

3

4

Sn+1=

1

4n

，問題轉化為比較4ⁿ與3n+10的大小，根據二項式定理求得4n＞1+3n+  •

n(n-1)

2

32＞1+3n+9=3n+10，進而看n=1，2時也符合，最后綜合原式得證．

解答：解：（Ⅰ）因為P_n（x_n，y_n）、P_n+1（x_n+1，y_n+1）在拋物線上，故x_n²=4y_n，①x_n+1²=4y_n+1②，又因為直線P_nP_n+1的斜率為

1

2n

，即

yn+1-yn

xn+1-xn

=

1

2

，①②代入可得

1

4

x2n+1-x2n

xn+1-xn

=

1

2n

⇒xn+1+xn=

1

2n-2

∴b_n=x_2n+1-x_2n-1=（x_2n+1+x_2n）-（x_2n+x_2n-1）=

1

22n-2

-

1

22n-3

=-

1

22n-2

，
故

bn+1

bn

=

1

4

⇒{bn}是以-1為首項，以

1

4

為公比的等比數列；
（Ⅱ）Sn=-

4

3

(1-

1

4n

)⇒

3

4

Sn+1=

1

4n

，故只要比較4ⁿ與3n+10的大小．
4n=(1+3)n=1+

C

1 n

•3+

C

2 n

•32+…+

C

n n

•3n＞1+3n+ 

n(n-1)

2

32＞1+3n+9=3n+10(n≥3)，
當n=1時，

3

4

Sn+1＞

1

3n+10

；
當n=2時

3

4

Sn+1=

1

3n+10

；
當n≥3，n∈N^*時，

3

4

Sn+1＜

1

3n+10

．

點評：本題主要考查了等比關系的確定，不等式的應用，二項式定理，考查了學生綜合分析問題的能力．