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科目：高中數學 來源： 題型：

對于定義域為[0，1]的函數f（x），若同時滿足以下三個條件：
①f（1）=1；
②?x∈[0，1]，總有f（x）≥0；
③當x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1時，都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），則稱函數f（x）為理想函數．
（Ⅰ）若函數f（x）為理想函數，求f（0）．
（Ⅱ）判斷函數g（x）=2^x-1（x∈[0，1]）和函數h(x)=sin

π

2

x（x∈[0，1]）是否為理想函數？若是，予以證明；若不是，說明理由．
（III）設函數f（x）為理想函數，若?x₀∈[0，1]，使f（x₀）∈[0，1]，且f[f（x₀）]=x₀，求證：f（x₀）=x₀．

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科目：高中數學 來源： 題型：

記函數f（x）的定義域為D，若存在x₀∈D，使f（x₀）=x₀成立，則稱以（x₀，x₀）為坐標的點為函數f（x）圖象上的不動點．
（1）若函數f(x)=

3x+a

x+b

圖象上有兩個關于原點對稱的不動點，求實數a，b應滿足的條件；
（2）設點P（x，y）到直線y=x的距離d=

|x-y|

2

．在（1）的條件下，若a=8，記函數f（x）圖象上的兩個不動點分別為A₁，A₂，P為函數f（x）圖象上的另一點，其縱坐標y_P＞3，求點P到直線A₁A₂距離的最小值及取得最小值時點P的坐標．
（3）下述命題“若定義在R上的奇函數f（x）圖象上存在有限個不動點，則不動點有奇數個”是否正確？若正確，請給予證明；若不正確，請舉一反例．若地方不夠，可答在試卷的反面．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若函數f（x）同時滿足下列兩個性質，則稱其為“規則函數”
①函數f（x）在其定義域上是單調函數；
②在函數f（x）的定義域內存在閉區間[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是

a

2

，且最大值是

b

2

．
請解答以下問題：
（Ⅰ）判斷函數f（x）=x²-2x，（x∈（0，+∞））是否為“規則函數”？并說明理由；
（Ⅱ）判斷函數g（x）=-x³是否為“規則函數”？并說明理由．若是，請找出滿足②的閉區間[a，b]；
（Ⅲ）若函數h(x)=

x-1

+t是“規則函數”，求實數t的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=ln x-

b

x

（b為實數）
（1）若b=-1，求函數f（x）的極值；
（2）若函數M（x）滿足M（x）≥N（x）恒成立，則稱M（x）是N（x）的一個“上界函數”．
①如果函數f（x）為g（x）=-Inx的一個“上界函數”，求b的取值范圍；
②若b=0，函數F（x）的圖象與函數f（x）的圖象關于直線y=x對稱，求證：當x∈（-2，+∞）時，函數F（x）是函數y=f(

x

2

+1)+

x

2

+1的一個“上界函數”．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

記函數f（x）的定義域為D，若存在x₀∈D，使f（x₀）=x₀成立，則稱以（x₀，x₀）為坐標的點為函數f（x）圖象上的不動點．
（1）若函數f(x)=

3x+a

x+b

圖象上有兩個關于原點對稱的不動點，求實數a，b應滿足的條件；
（2）設點P（x，y）到直線y=x的距離d=

|x-y|

2

．在（1）的條件下，若a=8，記函數f（x）圖象上的兩個不動點分別為A₁，A₂，P為函數f（x）圖象上的另一點，其縱坐標y_P＞3，求點P到直線A₁A₂距離的最小值及取得最小值時點P的坐標．
（3）下述命題“若定義在R上的奇函數f（x）圖象上存在有限個不動點，則不動點有奇數個”是否正確？若正確，請給予證明；若不正確，請舉一反例．若地方不夠，可答在試卷的反面．

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