Question

已知點P是圓C：（x-5）²+（y-5）²=r² （r＞0）上一點，P關于點A（5，0）的對稱點為Q，把點P繞圓心C（5，5）逆時針方向轉過90⁰后得點R，求P在圓C上運動時，|QR|的最大值與最小值．

Answer 1

分析：根據圓的標準方程，可知圓的參數方程，進而可得Q，R的坐標，再計算|QR|，進而可求|QR|的最大值與最小值

解答：解：設圓的參數方程為

x=5+rcosθ y=5+rsinθ

（θ為參數，0≤θ＜2π）
∴P（5+rcosθ，5+rsinθ），
∵P關于點A（5，0）的對稱點為Q，
∴Q（5-rcosθ，-5-rsinθ）
∵把點P繞圓心C（5，5）逆時針方向轉過90⁰后得點R，
∴R（5-rsinθ，5+rsinθ）
∴|QR|2=2r2+20

2

rsin(θ+

π

4

)+10
∵r＞0，-1≤sin(θ+

π

4

)≤1
∴當θ=

π

4

時，|QR|的最大值為

2

r+10
當θ=

5π

4

時，|QR|的最大值為|

2

r-10|

點評：本題重點考查圓的標準方程與圓的參數方程，考查三角函數的值域，解題的關鍵是利用參數方程，假設點的坐標．