Question

已知點(diǎn)O（0，0）和點(diǎn)B（3，0），動點(diǎn)P到O，B的距離之比為2：1．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）求△POB面積最大值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（x，y），由點(diǎn)O（0，0）和點(diǎn)B（3，0），動點(diǎn)P到O，B的距離之比為2：1，知

x2+y2

(x-3)2+y2

=

2

1

，由此能求出點(diǎn)P的軌跡方程．
（2）由點(diǎn)P的軌跡方程為（x-4）²+y²=4，|OB|=3為定值，知當(dāng)p（4，2）時(shí)，△POB面積最大，由此能求出其最大值．

解答：解：（1）設(shè)P（x，y），
∵點(diǎn)O（0，0）和點(diǎn)B（3，0），動點(diǎn)P到O，B的距離之比為2：1，
∴

x2+y2

(x-3)2+y2

=

2

1

，
整理，得（x-4）²+y²=4，
故點(diǎn)P的軌跡方程為（x-4）²+y²=4．（6分）
（2）∵點(diǎn)P的軌跡方程為（x-4）²+y²=4，
|OB|=3為定值，
∴當(dāng)p（4，2）時(shí)，△POB面積最大，其最大值S_max=

1

2

×3×2=3．
故△POB面積最大值為3．（12分）

點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查三角形面積最大值的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．