Question

若xn=

1×2

+

2×3

+…+

n(n+1)

（n為正整數），
求證：不等式  

n(n+1)

2

＜x n＜

(n+1)2

2

對一切正整數n恒成立．

Answer 1

分析：先對式子：xn=

1×2

+

2×3

+…+

n(n+1)

的通項進行放縮：n＜

n(n+1)

＜ n+

1

2

，再左右兩邊分別求和，即可證得結論．

解答：證明：∵n＜

n(n+1)

＜ n+

1

2

∴1+2+3+…+n＜

1×2

+

2×3

+…+

n(n+1)

＜(1+

1

2

)+(2+

1

2

)+…+(n+

1

2

)
即：

n(n+1)

2

＜x n＜

n2+2n

2

∴

n(n+1)

2

＜x n＜

(n+1)2

2

．
∴不等式  

n(n+1)

2

＜x n＜

(n+1)2

2

對一切正整數n恒成立．．

點評：本題考查不等式的證明（關鍵是去掉根式），以及數列求和、及放縮法．