Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，M為PC的中點．
（1）求證：PA∥平面BDM；
（2）求直線AC與平面ADM所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）連接AC，交BD于點O，連接MO，由三角形中位線定理易得MO∥PA，進而由線面平行的判定定理得到PA∥平面BDM；
（2）利用等體積法，根據V_M-ADC=V_C-ADM，我們分別計算出S_△ADC，點M到面ADC的距離h₁，S_△ADM的大小，即可求出C點到平面ADM的距離，進而求出直線AC與平面ADM所成角的正弦值．

解答：解：（1）證明：連接AC，交BD于點O，連接MO
因為MO是△PAC的中位線，
所以MO∥PA
又因為PA?面BDM，MO?面BDM
所以PA∥平面BDM
（2）因為S_△ADC=

3

，點M到面ADC的距離h₁=

3

2

，所以V_M-ADC=

1

3

×

3

×

3

2

=

1

2

．
因為△PDC為等腰三角形，且M為PC的中點，所以DM⊥PC．
取PB的中點E，AD的中點N，連接ME，PN，NE，BN
因為四邊形DMEN為平行四邊形
所以DM∥NE
又因為△PNB為等腰三角形，所以NE⊥PB
所以DM⊥PB．
因為DM⊥PC，DM⊥PB且PC∩PB=P
所以DM⊥面PBC．
所以DM⊥BC．
因為BC∥AD
所以AD⊥DM，因為DM=

6

2

所以S_△ADM=

1

2

×

6

2

×2=

6

2

所以V_M-ADC=V_C-ADM=S_△ADM×h₂×

1

3

所以h₂=

6

2

所以sinθ=

2

4

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，直線與平面平行的判定，其中（1）的關鍵是證得MO∥PA，（2）的關鍵是根據等體積法，求出C點到平面ADM的距離．