Question

設y=f(x)是定義在區間[－1，1]上的函數，且滿足條件：①f(－1)=f(1)=0；②對任意的u，v∈[－1，1]，都有．

(1)證明：對任意的x∈[－1，1]，都有x－1≤f(x)≤1－x．

(2)證明：對任意的u，v∈[－1，1]，都有．

(3)在區間[－1，1]上是否存在滿足題設條件的奇函數y=f(x)，且使得：

若存在，請舉一例；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)證明：由題設條件可知，當：x∈[－1，1]時， 有． 即x－1≤f(x)≤1－x． (2)證明：對任意的u，v∈[－1，1]， 當時，有． 當時，有，不妨設u＜0，v＞0，且v－u＞1， 所以． 綜上可知：對任意的u，v∈[－1，1]，都有． (3)解：滿足所述條件的函數不存在． 理由如下：假設存在函數f(x)滿足條件，則由|f(u)－f(v)|=|u－v|． u，，得． 又f(1)=0，所以． 又因為f(x)為奇函數，所以f(0)=0．由條件|f(u)－f(v)|＜|u－v|，u，，得．這與矛盾，所以假設不成立，即這樣的函數不存在．