Question

直線bx-ay+c=0（a＞0）是曲線y=ln

1

x

在x=3處的切線，f（x）=a•2^x+b•3^x，若f（x+1）＞f（x），則x的取值范圍是（　　）

• A．（-∞，1）
• B．（1，+∞）
• C．(-∞，

  2

  3

  )
• D．(

  2

  3

  ，+∞)

Answer 1

分析：先利用導數求出在x=3處切線的斜率，從而得到a與b的等量關系，然后解指數不等式即可求出x的取值范圍．

解答：解：y=ln

1

x

=-lnx，y′=-

1

x

則在x=3處的切線的斜率為y′|_x=3=-

1

3

=

b

a

即b=-

1

3

a
∴f（x）=a•2^x-

1

3

a•3^x，
∵f（x+1）＞f（x），
∴a•2^x+1-

1

3

a•3^x+1＞a•2^x-

1

3

a•3^x，
即2^x-

2

3

•3^x＞0即2^x-1＞3^x-1；
即(

3

2

)x-1＜1=(

3

2

)0
∴x-1＜0即x＜1
故選A．

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及指數運算，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．