Question

已知函數f(x)=ax3+

1

2

(sinθ)x2-2x+c的圖象過點(1，

37

6

)，且在[-2，1）內單調遞減，在[1，+∞）上單調遞增．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若對于任意的x₁，x₂∈[m，m+3]（m≥0），不等式|f(x1)-f(x2)|≤

45

2

恒成立，試問這樣的m是否存在．若存在，請求出m的范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用[-2，1）內單調遞減，在[1，+∞）上單調遞增，可確定sinθ=1，a=

1

3

，再由f（1）=

37

6

，即可求得f（x）的解析式；
（2）由導函數，確定f（x）的單調性．再進行分類討論，利用|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min，即可求得結論．

解答：解：（1）求導函數，可得f′（x）=3ax²+xsinθ-2，
由題設可知：

f′(1)=0 f′(-2)≤0

，即

3a+sinθ-2=0 12a-2sinθ-2≤0

，∴sinθ≥1，∴sinθ=1．
從而a=

1

3

，
∴f（x）=

1

3

x³+

1

2

x²-2x+c，而又由f（1）=

37

6

得c=

22

3

．
∴f（x）=3x³+2x²-2x+3即為所求．
（2）由f′（x）=x²+x-2=（x+2）（x-1），
∴f（x）在（-∞，-2）及（1，+∞）上均為增函數，在（-2，1）上為減函數．
①當m＞1時，f（x）在[m，m+3]上遞增，故f（x）_max=f（m+3），f（x）_min=f（m）
由f（m+3）-f（m）=3（m+3）³+2（m+3）²-2（m+3）-3m³-2m²+2m=3m²+12m+2≤2，
得-5≤m≤1．這與條件矛盾，故 不存在．
②當0≤m≤1時，f（x）在[m，1]上遞增，在[1，m+3]上遞增
∴f（x）_min=f（1），f（x）_max=max{ f（m），f（m+3）}，
又f（m+3）-f（m）=3m²+12m+2=3（m+2）²-2＞0（0≤m≤1）
∴f（x）_max=f（m+3）
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min=f（m+3）-f（1）≤f（4）-f（1）=2恒成立．
故當0≤m≤1時，原不等式恒成立．
綜上，存在m∈[0，1]合題意

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的最值，解題的關鍵是利用|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min，屬于中檔題．