Question

已知函數f（x）=ax²+bx+1（a，b為實數），x∈R，設函數g（x）=f（x）-2kx．
（1）若f（1）=0，且函數f（x）的值域為[0，+∞），求f（x）的表達式；
（2）若g（x）在x∈[-1，1]上是單調函數，求實數k的取值范圍．
（3）求g（x）在x∈[-2，2]上的最小值h（k）．

Answer 1

分析：（1）由已知f（1）=0可得a+b+1=0，由f（x）的值域為[0，+∞）可得△=b²-4a=0，聯立方程可求a，b，進而可求f（x）
（2）由g（x）=f（x）-2kx=ax²+（b-2k）x+1，分類討論：1°當a=0時，g（x）=（b-2k）x+1，結合一次函數的性質可求；2°當a≠0時，g（x）的對稱軸：x=

2k-b

2a

，由g（x）在x∈[-1，1]上單調可得

2k-b

2a

≤-1或

2k-b

2a

≥1可求
（3）：1°當a=0時，g（x）=（b-2k）x+1，結合一次函數的單調性可求；2°當a＞0時，g（x）的對稱軸：x=

2k-b

2a

且開口向上，通過討論對稱軸與區間的位置關系，結合二次函數在該區間上的單調性可求

解答：解：（1）顯然a≠0
∵f（1）=0
∴a+b+1=0-----------（1分）
∵x∈R，且f（x）的值域為[0，+∞）
∴△=b²-4a=0---------（3分）
由

a+b+1=0 b2-4a=0

可得

a=1 b=-2

∴f（x）=x²-2x+1（5分）
（2）g（x）=f（x）-2kx=ax²+（b-2k）x+1
1°當a=0時，g（x）=（b-2k）x+1，
∵g（x）在x∈[-1，1]上單調，
∴b≠2k
2°當a≠0時，g（x）圖象滿足：對稱軸：x=

2k-b

2a

∵g（x）在x∈[-1，1]上單調
∴

2k-b

2a

≤-1或

2k-b

2a

≥1
①當a＞0時，k≤-a+

b

2

或k≥a+

b

2

②當a＜0時，k≤a+

b

2

或k≥-a+

b

2

（10分）
（3）：1°當a=0時，g（x）=（b-2k）x+1
①當b-2k=0，即k=

b

2

時，h（k）=1
②當b-2k＞0，即k＜

b

2

時，h（k）=g（-2）=4k-2b+1
③當b-2k＜0，即k＞

b

2

時，h（k）=g（2）=-4k+2b+1
2°當a＞0時，g（x）圖象滿足：對稱軸：x=

2k-b

2a

且開口向上
①當

2k-b

2a

＜-2，即k≤-2a+

b

2

時，h（k）=g（-2）=4a-2b+4k+1
②當-2≤

2k-b

2a

≤2，即-2a+

b

2

≤k≤2a+

b

2

時，h(k)=g(

2k-b

2a

)=-

(2k-b)2

4a

+1
③當

2k-b

2a

＞2，即k≤2a+

b

2

時，h（k）=g（2）=4a+2b-4k+1
3°當a＜0時，g（x）圖象滿足：對稱軸：x=

2k-b

2a

且開口向下
①當

2k-b

2a

＜0，即k＞

b

2

時，h（k）=g（2）=4a+2b-4k+1
②當

2k-b

2a

＞0，即k＜

b

2

時，h（k）=g（-2）=4a-2b+4k+1（16分）

點評：本題主要考查了二次函數的性質的應用，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的相關性質并注意分類討論思想的應用