Question

已知數列{a_n}的首項a₁=a，其中a∈N^*，an+1=

an 3 ，an=3l，l∈N* an+1，an≠3l，l∈N*

令集合A={x|x=an，n∈N*}．
（I）若a₄是數列{a_n}中首次為1的項，請寫出所有這樣數列的前三項；
（II）求證：{1，2，3}⊆A；
（III）當a≤2014時，求集合A中元素個數Card（A）的最大值．

Answer 1

分析：（I）由a₄=1，an+1=

an 3 ，an=3l，l∈N* an+1，an≠3l，l∈N*

，求出a₃；再求a₂，a₁；
（II）討論a_k被3除余1，余2，余0的情況，確定a_k與a_k+3的大小，從而推導1、2、3是數列{a_n}中的項；
（III）由已知遞推關系得{a_n}滿足：當a_m∈{1，2，3}時，總有a_n=a_n+3成立，當a₁≤2014時，數列{a_n}中大于3的各項，
按逆序排列各項，構成的數列記為{b_n}，由（I）得b₁的取值，由（II）知數列{b_n}的項滿足：b_n+3＞b_n，且當b_n是3的倍數時，滿足b_n+3-b_n最小的數列{b_n}，得出{b_3k-1}的通項公式，由3⁶＜2014＜3⁷，得出當a≤2014時，k的最大值，從而得出A中元素個數的最大值．

解答：解：（I）∵a₄是數列{a_n}中首次為1的項，又an+1=

an 3 ，an=3l，l∈N* an+1，an≠3l，l∈N*

，∴a₃=3a₄=3；
∴a₂=3a₃或a₃-1，即a₂=9或2；同理a₁=3a₂或a₂-1，當a₂=9時，即a₁=27或8，當a₂=2時，a₁=6或1（不合題意，舍去）；
所以，滿足條件的數列的前三項為：
27，9，3；或8，9，3；或6，2，3．
（II）若a_k被3除余1，則由已知可得a_k+1=a_k+1，a_k+2=a_k+2，a_k+3=

1

3

（a_k+2）；
若a_k被3除余2，則由已知可得a_k+1=a_k+1，a_k+2=

1

3

（a_k+1），a_k+3≤

1

3

（a_k+1）+1；
若a_k被3除余0，則由已知可得a_k+1=

1

3

a_k，a_k+3≤

1

3

a_k+2；
所以a_k+3≤

1

3

a_k+2；
所以a_k-a_k+3≥a_k-（

1

3

a_k+2）=

2

3

（a_k-3）；
所以，對于數列{a_n}中的任意一項a_k，“若a_k＞3，則a_k＞a_k+3”．
因為a_k∈N^*，所以a_k-a_k+3≥1．
所以數列{a_n}中必存在某一項a_m≤3（否則會與上述結論矛盾�。�
若a_m=3，則a_m+1=1，a_m+2=2；若a_m=2，則a_m+1=3，a_m+2=1，若a_m=1，則a_m+1=2，a_m+2=3，
由遞推關系得{1，2，3}⊆A．
（III）集合A中元素個數Card（A）的最大值為21．
由已知遞推關系可推得數列{a_n}滿足：
當a_m∈{1，2，3}時，總有a_n=a_n+3成立，其中n=m，m+1，m+2，…．
下面考慮當a₁=a≤2014時，數列{a_n}中大于3的各項：
按逆序排列各項，構成的數列記為{b_n}，由（I）可得b₁=6或9，
由（II）的證明過程可知數列{b_n}的項滿足：b_n+3＞b_n，且當b_n是3的倍數時，若使b_n+3-b_n最小，需使b_n+2=b_n+1-1=b_n-2，
所以，滿足b_n+3-b_n最小的數列{b_n}中，b₃=4或7，且b_3k=3b_3k+3-2，
所以b_3k-1=3（b_3（k+1）-1），所以數列{b_3k-1}是首項為4-1或7-1的公比為3的等比數列，
所以b_3k-1=（4-1）×3^k-1或b_3k-1=（7-1）×3^k-1，即b_3k=3^k+1或b_3k=2×3^k+1，
因為3⁶＜2014＜3⁷，所以，當a≤2014時，k的最大值是6，
所以a₁=b₁₈，所以集合A中元素個數Card（A）的最大值為21．

點評：本題考查了遞推數列與不等式、集合等知識的綜合應用，也考查了較強的邏輯思維能力，是難題．