Question

某學習小組在暑期社會實踐活動中，通過對某商場一種品牌服裝銷售情況的調查發現：該服裝在過去的一個月內（以30天計）每件的銷售價格P（x）（百元）與時間x（天）的函數關系近似滿足P(x)=1+

k

x

(k為正常數），日銷售量Q（x）（件）與時間x（天）的部分數據如表所示：

x（天）	10	20	25	30
Q（x）（件）	110	120	125	120

已知第10天的日銷售收入為121（百元）．
（1）求k的值；
（2）給出以下四種函數模型：①Q（x）=ax+b，②Q（x）=a|x-25|+b，③Q（x）=a•b^x，④Q（x）=a•log_bx．請你根據表中的數據，從中選擇你認為最合適的一種函數來描述日銷售量Q（x）（件）與時間x（天）的變化關系，并求出該函數的解析式；
（3）求該服裝的日銷售收入f（x）（1≤x≤30，x∈N）的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用f（10）=P（10）•Q（10），可求k的值；
（2）由表中的數據知，當時間變化時，日銷售量有增有減并不單調，故只能選②，從表中任意取兩組值代入可求得結論；
（3）求出函數f（x）的解析式，分段求最值，即可得到結論．

解答：解：（1）依題意有：f（10）=P（10）•Q（10），
即(1+

k

10

)×110=121，所以k=1．                    …（2分）
（2）由表中的數據知，當時間變化時，日銷售量有增有減并不單調，
故只能選②Q（x）=a|x-25|+b．…（4分）
從表中任意取兩組值代入可求得：Q（x）=-|x-25|+125=125-|x-25|．                   …（6分）
（3）∵Q(x)=125-|x-25|=

100+x，(1≤x＜25) 150-x．(25≤x≤30)

，
∴f(x)=

x+ 100 x +101，(1≤x＜25) 150 x -x+149．(25≤x≤30)

．                   …（8分）
①當1≤x＜25時，x+

100

x

在[1，10]上是減函數，在[10，25）上是增函數，
所以，當x=10時，f（x）_min=121（百元）．             …（10分）
②當25≤x≤30時，

150

x

-x為減函數，
所以，當x=30時，f（x）_min=124（百元）．             …（11分）
綜上所述：當x=10時，f（x）_min=121（百元）．         …（12分）

點評：本題考查利用數學知識解決實際問題，考查函數模型的建立，考查函數的最值，屬于中檔題．