Question

數列{a_n}的各項均為正數，S_n為其前n項和，對于任意n∈N^*，總有an，Sn， an2成等差數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{

2

an•an+1

}的前n項和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得2Sn=an+an2，結合數列的遞推公式a_n=S_n-S_n-1可得a_n-a_n-1=1，結合等差數列的通項公式可求
（II）由

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，考慮利用裂項求和即可求解

解答：（Ⅰ）解：由已知：對于，n∈N^*，總有2Sn=an+an2 ①成立
∴2Sn-1=an-1+an-12   （n≥2）②
①-②得2an=an+an2-an-1-an-12
∴a_n-a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）
∵a_n＞0
∴a_n-a_n-1=1  （n≥2）
∴數列a_n是公差為1的等差數列
又n=1時，2S1=a1+a12，解得a₁=1
∴a_n=n．
（II）∵

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴Sn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

數列{

2

an•an+1

}的前n項和為

2n

n+1

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式構造等差數列求解通項及數列的裂項求和，解題的關鍵是熟練應用基本公式