Question

給出以下三個命題，其中所有正確命題的序號為________．
①設，均為單位向量，若|+|＞1，則
②函數f （x）=xsinx+l，當x₁，x₂∈[]，且|x₁|＞|x₂|時，有f（x₁）＞f（x₂），
③已知函數f （x）=|x²-2|，若f （a）=f （b），且0＜a＜b，則動點P（a，b）到直線4x+3y-15=0的距離的最小值為1．

Answer 1

①②③
分析：①設與的夾角為θ，將已知等式平方，結合向量模的含義和單位向量長度為1，化簡整理可得•=-，再結合向量數量積的定義和夾角的范圍，可得夾角θ的范圍．
②先判斷函數的奇偶性，易知是偶函數，同時再證明單調性，即可得到結論．
③由題意可得 a²-6=6-b²，從而即可求出a²+b²的值，利用直線與圓的位置關系可得動點P（a，b）到直線4x+3y-15=0的距離的最小值．
解答：①設與的夾角為θ，
∵|+|＞1，∴（+）²=²+2•+²＞1…（*）
∵向量，均為單位向量，可得||=||=1
∴代入（*）式，得1+2•+1=1＞1，所以•＞-
根據向量數量積的定義，得||•||cosθ＞-
∴cosθ＞-，結合θ∈[0，π]，得．①正確．
②由已知得f（x）是偶函數，且在區間[0，]上遞增，
由|x₁|＞|x₂|得f（|x₁|）＞f（|x₂|），即有f（x₁）＞f（x₂），②正確；
③∵函數f（x）=|x²-2|，
若0＜a＜b，且f（a）=f（b），
∴b²-2=2-a²，
即 a²+b²=4，故動點P（a，b）在圓a²+b²=4上，
動點P（a，b）到直線4x+3y-15=0的距離的最小值為圓心到直線的距離減去圓的半徑：d-r==1，正確．
故答案為：①②③．
點評：本題主要考查向量的有關概念、導數的應用、函數的圖象及綜合應用能力．