Question

15、從1到9的九個數字中取三個偶數四個奇數，試問：
①能組成多少個沒有重復數字的七位數？
②上述七位數中三個偶數排在一起的有幾個？
③在①中的七位數中，偶數排在一起、奇數也排在一起的有幾個？
④在①中任意兩偶然都不相鄰的七位數有幾個？

Answer 1

分析：①分步完成：第一步計算在4個偶數中取3個的情況數目，第二步計算在5個奇數中取4個的情況數目，第三步將取出的7個數進行全排列，計算可得答案；
②由①的第一、二步，將3個偶數排在一起，有A₃³種情況，與4個奇數共5個元素全排列，計算可得答案；
③由①的第一、二步，將3個偶數排在一起，有A₃³種情況，4個奇數也排在一起有A₄⁴種情況，將奇數與偶數進行全排列計算可得答案；
④由①的第一、二步，可先把4個奇數取出并排好有C₅⁴A₄⁴種情況，再將3個偶數分別插入5個空檔，有C₄³A₅³種情況，進而由乘法原理，計算可得答案．

解答：解：①分步完成：第一步在4個偶數中取3個，可有C₄³種情況；
第二步在5個奇數中取4個，可C₅⁴有種情況；
第三步3個偶數，4個奇數進行排列，可有A₇⁷種情況，
所以符合題意的七位數有C₄³C₅⁴A₇⁷=100800個；
②上述七位數中，將3個偶數排在一起，有A₃³種情況，
故三個偶數排在一起的有C₄³C₅⁴A₅⁵A₃³=14400種情況；
③上述七位數中，3個偶數排在一起有A₃³種情況，4個奇數也排在一起有A₄⁴種情況，
共有C₄³C₅⁵A₃³A₄⁴A₂²=5760個．
④上述七位數中，偶數都不相鄰，可先把4個奇數排好，
再將3個偶數分別插入5個空檔，共有C₅⁴A₄⁴C₄³A₅³=28800個．

點評：對于有限制條件的排列問題，常見方法是分步進行，先組合再排列，這是乘法原理的典型應用．