Question

在平面直角坐標系xoy中，給定三點，點P到直線BC的距離是該點到直線AB，AC距離的等比中項。

（Ⅰ）求點P的軌跡方程；

（Ⅱ）若直線L經過的內心（設為D），且與P點的軌跡恰好有3個公共點，求L的斜率k的取值范圍。

Answer 1

解析：（Ⅰ）直線AB、AC、BC的方程依次為。點到AB、AC、BC的距離依次為。依設，，即，化簡得點P的軌跡方程為

圓S：         ......5分

（Ⅱ）由前知，點P的軌跡包含兩部分

圓S：              ①

與雙曲線T：      ②

因為B（－1，0）和C（1，0）是適合題設條件的點，所以點B和點C在點P的軌跡上，且點P的軌跡曲線S與T的公共點只有B、C兩點。

的內心D也是適合題設條件的點，由，解得，且知它在圓S上。直線L經過D，且與點P的軌跡有3個公共點，所以，L的斜率存在，設L的方程為

      ③

（i）當k=0時，L與圓S相切，有唯一的公共點D；此時，直線平行于x軸，表明L與雙曲線有不同于D的兩個公共點，所以L恰好與點P的軌跡有3個公共點。......10分

（ii）當時，L與圓S有兩個不同的交點。這時，L與點P的軌跡恰有3個公共點只能有兩種情況：

    情況1：直線L經過點B或點C，此時L的斜率，直線L的方程為。代入方程②得，解得。表明直線BD與曲線T有2個交點B、E；直線CD與曲線T有2個交點C、F。

故當時，L恰好與點P的軌跡有3個公共點。                      ......15分

    情況2：直線L不經過點B和C（即），因為L與S有兩個不同的交點，所以L與雙曲線T有且只有一個公共點。即方程組有且只有一組實數解，消去y并化簡得

該方程有唯一實數解的充要條件是       ④

或                 ⑤

解方程④得，解方程⑤得。

綜合得直線L的斜率k的取值范圍是有限集。       ......20分