Question

（2013•泰安一模）已知

m

=(Asin

x

3

，A)，

n

=(

3

，cos

x

3

)，f(x)=

m

•

n

，且f(

π

4

)=

2

．
（1）求A的值；
（II）設α、β∈[0，

π

2

]，f（3α+π）=

30

17

，f（3β-

7

2

π）=-

8

5

，求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）利用兩個向量的數量積公式求得f（x）=

m

•

n

=2Asin（

x

3

+

π

6

）．再由 f（

π

4

）=

2

，可得A的值．
（II）由（1）可得 f（x）=2Asin（

x

3

+

π

6

），由f（3α+π）=

30

17

，求得 cosα 的值，再由 f（3β-

7

2

π）=-

8

5

，求得sinβ的值．再由 α、β的范圍利用同角三角函數的基本關系，求得 sinα 和cosβ 的值，再根據cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，運算求得結果．

解答：解：（1）由題意可得f（x）=

m

•

n

=

3

Asin

x

3

+Acos

x

3

=2Asin（

x

3

+

π

6

）．
再由 f（

π

4

）=2Asin（

π

12

+

π

6

）=

2

A=

2

，可得A=1．
（II）由（1）可得 f（x）=2Asin（

x

3

+

π

6

），∴f（3α+π）=2sin（α+

π

3

+

π

6

）=2cosα=

30

17

，可得 cosα=

15

17

．
又 f（3β-

7

2

π）=2sin（β-

7π

6

+

π

6

）=-2sinβ=-

8

5

，sinβ=

4

5

．
再由 α、β∈[0，

π

2

]，可得 sinα=

8

17

，cosβ=

3

5

，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=

15

17

×

3

5

-

8

17

×

4

5

=

13

85

．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，兩個向量的數量積公式的應用，屬于中檔題．