Question

如圖，四棱錐P-A BCD中，底面ABCD為菱形，BD⊥面PAC，A C=10，PA=6，cos∠PCA=，M是PC的中點．
（Ⅰ）證明PC⊥平面BMD；
（Ⅱ）若三棱錐M-BCD的體積為14，求菱形ABCD的邊長．

Answer 1

解：（I）∵BD⊥面PAC，PC?面PAC，
∴PC⊥BD，
△PAC中，AC=10，PA=6，cos∠PCA=，
∴PA²=PC²+AC²-2PC•ACcos∠PCA，
∴PC=8，
連結MO，∵M是PC的中點，O是AC的中點，
∴PA∥MO，∴PC⊥MO，又∵BD∩MO=O，
∴PC⊥平面BMD；
（II）由題意知：三棱錐M-BCD的體積為14，
即V_M-BCD=V_C-MBD=S_△MBD×CM=BD•MO•CM=14，
∵CM=PC=4，MO=PA=3，
∴BD=7，
∴菱形ABCD的邊長AB==．
分析：（I）先根據線面垂直的性質證明PC⊥BD，再在△PAC中利用余弦定理求出PC的長，從而證出PA∥MO，進一步得PC⊥MO，最后根據線面垂直的判定定理可得PC⊥平面BMD；
（II）由題意知，將三棱錐M-BCD的體積轉換成三棱錐C-BMD的體積，再利用棱錐的體積公式列出等式求出菱形ABCD的對角線的長，從而得出菱形ABCD的邊長．
點評：本題考查證明線面垂直的方法，直線與平面垂直的判定、性質的應用，棱錐的體積等，考查空間想象能力，屬于中檔題．