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如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,側面AA1B1B⊥底面ABC,側棱AA1與底面ABC成60°角,AA1=2,底面ABC是邊長為2的三角形,G為三角形ABC內一點,E是線段BC1上一點,且
BE
=
1
3
BC1
GE
=
1
3
AB1

(1)請判斷點G在三角形ABC內的位置;
(2)求平面B1GE與底面ABC所成銳角二面角的大小.
分析:(1)先取AB中點O,根據∠A1AB=60°以及AA1=AB=2,得到AO⊥底面ABC;再O為原點建立空間直角坐標系求出各點的坐標;結合
BE
=
1
3
BC1
求出點E的坐標,再結合
GE
=
1
3
AB1
求出點G的坐標,即可得到結論.
(2)先根據條件求出兩個平面的法向量,再直接代入向量夾角的計算公式即可求出結論.
解答:解:(1)∵側面AA1B1B⊥底面ABC,側棱AA1與底面ABC成600
∴∠A1AB=60°;
又AA1=AB=2,取AB中點O,則AO⊥底面ABC,…(1分)
以O為原點建立空間直角坐標系:
則A1(0,0,
3
),B1(0,2,
3
),C1
3
,1,
3

A(0,-1,0),B(0,1,0),C(
3
,0,0)
設G(x,y,0)
BE
=
1
3
BC 1
,∴E(
3
3
,1,
3
3
).
又∵
GE
=
1
3
AB 1

AB 1
=(0,3,
3
),
GE
=(
3
3
-x,1-y,
3
3
).
∴G(
3
3
,0,0).
所以:G為中心.…(6分)
(2)設平面B1GE的法向量為
n
=(x,y,z),則由
n
B   1E
=0及
n
GE
=0.
y+
3
3
z=0
3
3
x-y-
2
3
3
z=0
n
=(
3
,-1,
3
).,…(8分)
又底面ABC的法向量為
m
=(0,0,1),設平面B1GE與底面ABC所成銳角二面角的大小為θ
所以:cosθ=
|
m
n
|
|
m
|•|
n
|
=
21
7

故θ=arccos
21
7

∴平面B1GE與底面ABC所成銳角二面角的大小為arccos
21
7
…(12分)
點評:本題主要考查了點的位置的判定,以及二面角的度量等基礎知識,考查空間想象能力,運算能力和推理論證能力,屬于中檔題,本題解題的關鍵是找出二面角的平面角對應的法向量.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠A1AB=∠A1AC,AB=AC,A1A=A1B=a,側面B1BCC1與底面ABC所成的二面角為120°,E、F分別是棱B1C1、A1A的中點
(Ⅰ)求A1A與底面ABC所成的角;
(Ⅱ)證明A1E∥平面B1FC;
(Ⅲ)求經過A1、A、B、C四點的球的體積.

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科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,AC⊥BC.側面A1ABB1是邊長為a的菱形,且垂直于底面ABC,∠A1AB=60°,E,F分別是AB1,BC的中點.  
(1)求證:直線EF∥平面A1ACC1;   
(2)在線段AB上確定一點G,使平面EFG⊥平面ABC,并給出證明;  
(3)記三棱錐A-BCE的體積為V,且V∈[
32
,12]
,求a的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,又BC1⊥AC,過C1作C1H⊥底面ABC,垂足為H,則點H一定在(  )

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2007•武漢模擬)如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中 AB=BC=2,∠ABC=120°,又頂點A1在底面ABC上的射影落在AC上,側棱AA1與底面成60°的角,D為AC的中點.
(1)求證:AA1⊥BD;
(2)若面A1DB⊥面DC1B,求側棱AA1之長.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2008•武漢模擬)如圖,在斜三棱柱ABC-A'B'C'中,∠ABC=90°,則側面A'ACC'⊥側面ABC,又AA'和底面所成60°的角,且AA'=2a,AB=BC=
2
a

(1)求平面ABB'A'與底面ABC所成的角的正切值;
(2)求側面BB'C'C的面積.

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同步練習冊答案
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