Question

(2007湖南，19)如圖所示，某地為了開(kāi)發(fā)旅游資源，欲修建一條連接風(fēng)景點(diǎn)P和居民區(qū)O的公路．點(diǎn)P所在的山坡面與山腳所在水平面α所成的二面角為θ(0°＜θ＜90°)，且，點(diǎn)P到平面α的距離PH=0.4(km)．沿山腳原有一段筆直的公路AB可供利用．從點(diǎn)O到山腳修路的造價(jià)為a萬(wàn)元/km，原有公路改建費(fèi)用為萬(wàn)元/km．當(dāng)山坡上公路長(zhǎng)度為lkm(1≤l≤2)時(shí)，其造價(jià)為萬(wàn)元．已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB=1.5(km)，．

(1)在AB上求一點(diǎn)D，使沿折線PDAO修建公路的總造價(jià)最小：

(2)對(duì)于(1)中得到的點(diǎn)D，在DA上求一點(diǎn)E，使沿折線PDEO修建公路的總造價(jià)最小；

(3)在AB上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)、，使沿折線修建公路的總造價(jià)小于(2)中得到的最小總造價(jià)，證明你的結(jié)論．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)如圖PH⊥α，，PB⊥AB，由三垂線定理逆定理知，AB⊥HB，所以∠PBH是山坡面與α所成二面角的平面角，則∠PBH=θ，． 設(shè)BD=x(km)，0≤x≤1.5，則．記總造價(jià)為萬(wàn)元．據(jù)題設(shè)有 當(dāng)，即時(shí)總造價(jià)最小． (2)設(shè)AE=y(km)，，總造價(jià)為萬(wàn)元，根據(jù)題設(shè)有． 則，由，得y=1． 當(dāng)時(shí)，，在(0，1)內(nèi)是減函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)是增函數(shù)． 故當(dāng)y=1，即AE=1(km)時(shí)總造價(jià)最小，且最小總造價(jià)為萬(wàn)元． (3)不存在這樣的點(diǎn)、．事實(shí)上，在AB上任取不同的兩點(diǎn)、．為使總造價(jià)最小，顯然不能位于與B之間．故可設(shè)位于與A之間，且，，，總造價(jià)為S萬(wàn)元，則．類(lèi)似于(1)(2)的討論知，，，當(dāng)且僅當(dāng)，同時(shí)成立時(shí)，上述兩個(gè)不等式等號(hào)同時(shí)成立，此時(shí)，，S取得最小值，點(diǎn)、分別與點(diǎn)D、E重合．所以不存在這樣的點(diǎn)、，使沿折線修建公路的總造價(jià)小于(2)中得到的最小總造價(jià)．