Question

已知A（-2，0），B（2，0）為橢圓C的左、右頂點，F為其右焦點，P是橢圓C上異于A，B的動點，且△APB面積的最大值為2

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程及離心率；
（Ⅱ）直線AP與橢圓在點B處的切線交于點D，當直線AP繞點A轉動時，試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關系，并加以證明．

Answer 1

分析：（I）根據橢圓的特征可得當點P在點（0，b）時，△APB面積的最大，結合題中的條件可得a、b與c的關系進而得到答案．
（II）設點P的坐標為（x₀，y₀），由題意可設直線AP的方程為y=k（x+2），可得點D與BD中點E的坐標，聯立直線與橢圓的方程得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，進而表示出點P的坐標，結合點F坐標為（1，0），再寫出直線PF的方程，根據點E到直線PF的距離等于直徑BD的一半，進而得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由題意可設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，F（c，0）．
由題意知

1 2 • 2a•b=2 3 a=2 a2=b2+c2

解得b=

3

，c=1．
故橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，離心率為

1

2

．
（Ⅱ）以BD為直徑的圓與直線PF相切．
證明如下：由題意可設直線AP的方程為y=k（x+2）（k≠0）．
則點D坐標為（2，4k），BD中點E的坐標為（2，2k）．
由

y=k(x+2) x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0．
設點P的坐標為（x₀，y₀），則-2x0=

16k2-12

3+4k2

．
所以x0=

6-8k2

3+4k2

，y0=k(x0+2)=

12k

3+4k2

．
因為點F坐標為（1，0），
當k=±

1

2

時，點P的坐標為(1，±

3

2

)，點D的坐標為（2，±2）．
直線PF⊥x軸，此時以BD為直徑的圓（x-2）²+（y±1）²=1與直線PF相切．
當k≠±

1

2

時，則直線PF的斜率kPF=

y0

x0-1

=

4k

1-4k2

．
所以直線PF的方程為y=

4k

1-4k2

(x-1)．
點E到直線PF的距離d=

| 8k 1-4k2 -2k- 4k 1-4k2 |

16k2 (1-4k2)2 +1

=

| 2k+8k3 1-4k2 |

1+4k2 |1-4k2|

=2|k|．
又因為|BD|=4|k|，所以d=

1

2

|BD|．
故以BD為直徑的圓與直線PF相切．
綜上得，當直線AP繞點A轉動時，以BD為直徑的圓與直線PF相切．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握橢圓中有關數值的關系，以及橢圓與直線的位置關系、圓與直線的位置關系．