Question

已知F₁、F₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，橢圓C上的點A（1，

3

2

）到F₁、F₂兩點的距離之和等于4．
（1）寫出橢圓C的方程和焦點坐標；
（2）設點K是橢圓上的動點，求線段F₁K的中點的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）把點A的坐標代入橢圓方程，再由橢圓的定義知2a=4，從而求出橢圓的方程，由橢圓的方程求出焦點坐標．
（2）設F₁K的中點Q（x，y），則由中點坐標公式得點K（2x+1，2y），把K的坐標代入橢圓方程，化簡即得線段KF₁的中點Q的軌跡方程．

解答：解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦點在x軸上，
且橢圓上的點A到焦點F₁、F₂的距離之和是4，
∴2a=4，即a=2；
又∵點A（1，

3

2

）在橢圓上，
∴

1

22

+

9

4b2

=1，
∴b²=3，∴c²=a²-b²=1；
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

x2

3

=1，
焦點F₁（-1，0），F₂（1，0）．
（2）設橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1上的動點K為（x₁，y₁），線段F₁K的中點Q（x，y），
∴x=

-1+x1

2

，y=

0+y1

2

；
∴x₁=2x+1，y₁=2y；
代入橢圓方程，得

(2x+1)2

4

+

(2y)2

3

=1；
即(x+

1

2

)2+

4y2

3

=1為所求中點的軌跡方程．

點評：本題考查了橢圓的定義與標準方程以及線段的中點坐標公式，用代入法求軌跡方程等問題，是中檔題．