Question

已知拋物線方程為x²=4y，過(guò)點(diǎn)M（2，3）作直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，且M為線段AB中點(diǎn)．
（1）求直線l的方程；
（2）求線段AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線l：y-3=k（x-2），將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求得k值，從而解決問(wèn)題．
（2）由（1）知一元二次方程x²-4x-4=0，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長(zhǎng)公式即可求得P值，從而解決問(wèn)題．

解答：解：（1）設(shè)直線l：y-3=k（x-2）代入x²=4y消去y并整理得x²-4kx+8k-12=0，
依題意得x₁+x₂=4k=4，k=1，
此時(shí)直線方程為y=x+1．（6分）
（2）由（1）知x²-4x-4=0，|AB|=

1+k2

|x2-x1|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=8．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，是對(duì)知識(shí)的綜合考查，屬于中檔題目．在研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，一般常把直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，易錯(cuò)點(diǎn)在與忘記限制對(duì)應(yīng)判別式．