Question

已知定點(diǎn)A(－2，0)，B(2，0)，曲線E上任一點(diǎn)P滿足|PA|－|PB|＝2．

(1)求曲線E的方程；

(2)延長PB與曲線E交于另一點(diǎn)Q，求|PQ|的最小值；

(3)若直線l的方程為x＝a(a≤)，延長PB與曲線E交于另一點(diǎn)Q，如果存在某一位置，使得PQ的中點(diǎn)R在l上的射影C滿足PC⊥QC，求a的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：|PA|－|PB|＝2　∴點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，焦距為4，實(shí)軸長為2的雙曲線的右支，其方程為……(4分) 　　(2)若直線PQ的斜率存在，設(shè)斜率為k，則直線PQ的方程為y＝k(x－2)代入雙曲線方程，得(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0，由 　　解得k2＞3，……(6分) 　　∴|PQ|＝…(8分) 　　當(dāng)直線斜率不存在時(shí)x1＝x2＝2，得y1＝3，y2＝－3，|PQ|＝6，|PQ|的最小值為6……(10分) 　　(3)當(dāng)PC⊥CQ時(shí)，P、C、Q構(gòu)成直角三角形 　　∴R到直線l的距離　　① 　　又∵點(diǎn)P、Q都在雙曲線上， 　　∴， 　　∴即|PQ|＝4xR－2，∴　　② 　　將②代入①得，|PQ|＝2－4a≥6， 　　故有a≤－1……(14分)