Question

已知函數f(x)＝(k為常數，e＝2.718 28…是自然對數的底數)，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與x軸平行．

(1)求k的值；

(2)求f(x)的單調區間；

(3)設g(x)＝(x²＋x)f′(x)，其中f′(x)為f(x)的導函數，證明：對任意x>0，g(x)<1＋e^－2.

Answer 1

解析　(1)由f(x)＝，

得f′(x)＝，x∈(0，＋∞)．

由于曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線與x軸平行，

所以f′(1)＝0，因此k＝1.

(2)由(1)得f′(x)＝(1－x－xlnx)，x∈(0，＋∞)．

令h(x)＝1－x－xlnx，x∈(0，＋∞)，

當x∈(0,1)時，h(x)>0；當x∈(1，＋∞)時，h(x)<0.

又e^x>0，所以當x∈(0,1)時，f′(x)>0；

當x∈(1，＋∞)時，f′(x)<0.

因此f(x)的單調遞增區間為(0,1)，單調遞減區間為(1，＋∞)．

(3)因為g(x)＝(x²＋x)f′(x)，

所以g(x)＝(1－x－xlnx)，x∈(0，＋∞)．

因此，對任意x>0，

g(x)<1＋e^－2等價于1－x－xlnx<(1＋e^－2)．

由(2)中h(x)＝1－x－xlnx，x∈(0，＋∞)，

所以h′(x)＝－lnx－2＝－(lnx－lne^－2)，x∈(0，＋∞)．

因此，當x∈(0，e^－2)時，h′(x)>0，h(x)單調遞增；

當x∈(e^－2，＋∞)時，h′(x)<0，h(x)單調遞減．

所以h(x)的最大值為h(e^－2)＝1＋e^－2.

故1－x－xlnx≤1＋e^－2.

設φ(x)＝e^x－(x＋1)．

因為φ′(x)＝e^x－1＝e^x－e⁰，

所以當x∈(0，＋∞)時，φ′(x)>0，φ(x)單調遞增，

φ(x)>φ(0)＝0.

故當x∈(0，＋∞)時，φ(x)＝e^x－(x＋1)>0，

即>1.

所以1－x－xlnx≤1＋e^－2<(1＋e^－2)．

因此，對任意x>0，g(x)<1＋e^－2.