Question

已知函數f（x）=cosx在區間[a，b]上是減函數，且f（a）=1，f（b）=-1，則sin

a+b

2

=（　　）

• A．0
• B．

  2

  2

• C．1
• D．-1

Answer 1

分析：根據函數f（x）=cosx在區間[a，b]上是減函數，且f（a）=1，f（b）=-1，可得[a，b]為函數f（x）=cosx的單調減區間，從而可得

a+b

2

=2kπ+

π

2

（k∈Z），進而可求sin

a+b

2

的值．

解答：解：∵函數f（x）=cosx在區間[a，b]上是減函數，且f（a）=1，f（b）=-1，
∴[a，b]為函數f（x）=cosx的單調減區間
∴a=2kπ，b=2kπ+π（k∈Z）
∴a+b=4kπ+π（k∈Z）
∴

a+b

2

=2kπ+

π

2

（k∈Z）
∴sin

a+b

2

=sin (2kπ+

π

2

)=sin

π

2

=1
故選C．

點評：本題考查的重點是余弦函數的單調性，解題的關鍵是確定[a，b]為函數f（x）=cosx的單調減區間．