Question

（2011•棗莊二模）已知函數f（x）=

3

2

sin2x-

1

2

（cos²x-sin²x）-1，x∈R
（1）求函數f（x）的最小值；
（2）設△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若c=

7

，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式以及兩角差的正弦函數化簡函數的表達式，借助正弦函數的有界性，求出函數的最小值．
（2）通過f（C）=2，利用三角形的內角，求出C的值，通過余弦定理，正弦定理求出a，b的值即可．

解答：解：（1）函數f（x）=

3

2

sin2x-

1

2

（cos²x-sin²x）-1=sin（2x-

π

6

）-1，
顯然，函數的最小值為-2．
（2）由f（C）=0，可得sin（2C-

π

6

）-1=0，因為C是三角形內角，所以2C-

π

6

=

π

2

，即C=

π

3

，
由余弦定理a²+b²-2abcos

π

3

=(

7

)2…①
又sinB=3sinA，所以b=3a…②
解①②得a=1，b=3．

點評：本題是中檔題，考查三角函數的化簡求值，正弦定理、余弦定理的應用，考查計算能力常考題型．注意三角形內角的應用．