Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點F和橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的右焦點重合．
（1）求拋物線C的方程，并求其準線方程；
（2）設P（1，2），是否存在平行于OP（O為坐標原點）的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點，且直線OP與l的距離等于

5

5

？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由橢圓的右焦點F（1，0），知

p

2

=1，p=2，由此能求出拋物線C的方程和其準線方程．．
（2）假設存在符合題意的直線l，其方程為2x+b，由

y2=4x y=2x+b

，得y²-2y+2b=0，由直線l與拋物線有公共點，知△=4-8b≥0，由直線OP與l的距離d=

5

5

，知b=±1．由此能導出符合題意的直線l存在，其方程為y=2x-1．

解答：解：（1）∵橢圓的右焦點F（1，0），
∴

p

2

=1，p=2，
∴拋物線C的方程為y²=4x，
其準線方程為x=-1．
（2）假設存在符合題意的直線l，其方程為2x+b，
由

y2=4x y=2x+b

，得y²-2y+2b=0，
∵直線l與拋物線有公共點，
∴△=4-8b≥0，即b≤

1

2

，
∵直線OP與l的距離d=

5

5

，
∴

|b|

5

=

1

5

，即b=±1．
從而b=-1．
∴符合題意的直線l存在，其方程為y=2x-1．

點評：本題考查直線和拋物線的性質和應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．