Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，離心率e=

2

2

，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線y=x+

2

相切．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）過點F₁的直線l與該橢圓交于M、N兩點，且|

.

F2M

+

.

F2N

|=

2 26

3

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意：由離心率和點到直線的距離公式建立方程，利用b²=a²-c²，即可求得橢圓的標準方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F(xiàn)₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），先驗證直線l的斜率不存在的情況，當斜率存在時設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），與橢圓方程聯(lián)立，消元表示出x₁+x₂，y₁+y₂，用坐標表示出方程，解得k即可求得直線l的方程．

解答：解：（1）因為以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線y=x+

2

相切，
所以圓心到直線的距離：

|0-0+ 2 |

12+(-1)2

=b，解得b=1，又離心率e=

2

2

=

c

a

，
平方可得：

c2

a2

=

1

2

，即

a2-1

a2

=

1

2

，解得a²=2，
故所求橢圓的標準方程為：

x2

2

+y2=1
（2）由（1）可知：F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
若直線l的斜率不存在時，則直線l的方程為x=-1，將x=-1代入橢圓方程可得y=±

2

2

，
不妨設(shè)M（-1，

2

2

），N（-1，-

2

2

），∴

F2M

+

F2N

=（-2，

2

2

）+（-2，-

2

2

）=（-4，0）
∴|

.

F2M

+

.

F2N

|=4，與題設(shè)矛盾，∴直線l的斜率存在．
設(shè)其方程為：y=k（x+1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
聯(lián)立方程

x2 2 +y2=1 y=k(x+1)

，消y并整理得，（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0，
顯然有△＞0，由韋達定理可得x₁+x₂=-

4k2

2k2+1

，x₁+x₂-2=

-8k2-2

2k2+1

，
所以y₁+y₂=k（x₁+1）+k（x₂+1）=k（x₁+x₂+2）=

2k

2k2+1

，
又因為|

.

F2M

+

.

F2N

|=

2 26

3

，所以(x1+x2-2)2+(y1+y2)2=

4×26

9

，
即(

-8k2-2

2k2+1

)2+(

2k

2k2+1

)2=

4×26

9

，即40k⁴-23k²-17=0，
解得k²=1，（負值舍去）∴k=±1
∴所求直線l的方程為x-y+1=0或x+y+1=0．

點評：本題考查橢圓的性質(zhì)與標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系以及量知識的運用，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理求解的整體思想，屬中檔題．