Question

設f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，g（x）的圖象與f（x）的圖象關于直線x=1對稱，而當x∈[2，3]時，g（x）=-x²+4x+c（c為常數）．
（1）求f（x）的表達式
（2）對于任意x₁，x₂∈[0，1]且x₁≠x₂，求證：|f（x₂）-f（x₁）|＜2|x₂-x₁|．

Answer 1

分析：（1）根據g（x）的圖象與f（x）的圖象關于直線x=1對稱，則f（x+1）=g（1-x）即f（x）=g（2-x），從而可求出-1≤x≤0時函數f（x）的解析式，最后根據奇偶性求出函數在0＜x≤1上的解析式，從而可得f（x）的表達式；
（2）當x₁，x₂∈[0，1]且x₁≠x₂時，0＜x₁+x₂＜2，代入解析式進行化簡變形，即可證得結論．

解答：解：（1）∵g（x）的圖象與f（x）的圖象關于直線x=1對稱
∴f（x+1）=g（1-x）
∴f（x）=g（2-x）
當-1≤x≤0時，2≤2-x≤3，
∵當x∈[2，3]時，g（x）=-x²+4x+c（c為常數）．
∴f（x）=-（2-x）²+4（2-x）+c=-x²+c+4
當0＜x≤1時，-1≤-x＜0，∴f（-x）=-x²+c+4
由于f（x）是奇函數，∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）=x²-c-4
∴f(x)=

-x2+c+4，(-1≤x≤0) x2-c-4，(0＜x≤1)

（2）當x₁，x₂∈[0，1]且x₁≠x₂時，0＜x₁+x₂＜2，
∴|f（x₂）-f（x₁）|=|

x

2 2

-

x

2 1

|=|（x₂-x₁）（x₂+x₁）|＜2|x₂-x₁|
∴|f（x₂）-f（x₁）|＜2|x₂-x₁|．

點評：本題以函數為載體，考查函數的奇偶性，考查函數的解析式，同時考查了不等式的證明，解題的關鍵是正確利用函數的對稱性．