Question

已知函數，則（ ）
A．函數f（x）的周期為2π
B．函數f（x）在區間上單調遞增
C．函數f（x）的圖象關于直線對稱
D．函數f（x）的圖象關于點對稱

Answer 1

【答案】分析：將函數解析式去括號后，利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，找出ω的值，代入周期公式求出函數的周期，即可對于選項A作出判斷；由x的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數的圖象與性質得出函數的單調性，即可對于選項B作出判斷；由正弦函數的對稱軸為kπ+，k∈Z，即可對于選項C作出判斷；由正弦函數的對稱中心為kπ，k∈Z，即可對于選項D作出判斷．
解答：解：f（x）=cosxsinx-cos²x=sin2x-（cos2x+1）=sin（2x-）-，
∵ω=2，∴T=π，故選項A錯誤；
∵x∈[-，]，∴2x-∈[-，0]，
當2x+∈[-，-]時，f（x）單調遞減；當2x+∈[-，0]時，f（x）單調遞增，
故選項B錯誤；
令2x-=kπ+，k∈Z，解得：x=kπ+，k∈Z，
當k=-1時，x=-，即函數f（x）的圖象關于直線x=-對稱，故選項C正確；
令2x-=kπ，k∈Z，解得：x=kπ+，k∈Z，
∴當k=0時，x=，可得函數圖象關于（，-）對稱，故選項D錯誤，
故選C
點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，二倍角的正弦、余弦函數公式，正弦函數的單調性，以及正弦函數的對稱性，熟練掌握公式是解本題的關鍵．