Question

16．已知函數f（x）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin（2x+\frac{π}{3}）-{cos^2}x+\frac{1}{2}$（x∈R），則下列說法正確的是（　　）

• A． 函數f（x）的最小正周期為$\frac{π}{2}$
• B． 函數f（x）的圖象關于y軸對稱
• C． 點$（\frac{π}{6}，0）$為函數f（x）圖象的一個對稱中心
• D． 函數f（x）的最大值為$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 化函數f（x）為正弦型函數，再依次判斷選項中的命題是否正確．

解答 解：函數f（x）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin（2x+\frac{π}{3}）-{cos^2}x+\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（sin2xcos$\frac{π}{3}$+cos2xsin$\frac{π}{3}$）-$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+$\frac{1}{4}$cos2x
=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）（x∈R），
由ω=2知，f（x）的最小正周期為π，A錯誤；
由f（0）=$\frac{1}{2}$sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{4}$不是最值，
∴f（x）的圖象不關于y軸對稱，B錯誤；
由f（$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$sin$\frac{π}{2}$=$\frac{1}{2}$≠0，
∴點$（\frac{π}{6}，0）$不是函數f（x）圖象的一個對稱中心，C錯誤；
由sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，∴f（x）的最大值是$\frac{1}{2}$，D正確．
故選：D．

點評 本題考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，是基礎題．