Question

已知函數f(x)=

x

．
（1）求函數的定義域；                 
（2）判斷函數的單調性并加以證明．

Answer 1

分析：（1）要使f（x）有意義，只需滿足x≥0；
（2）任取x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，利用作差可判斷f（x₁）與f（x₂）的大小，根據單調性的定義可作出判斷；

解答：解：（1）要使f（x）有意義，須滿足x≥0，
故函數f（x）的定義域為[0，+∞）；
（2）f（x）在定義域內單調遞增，證明如下：
任取x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

x1

-

x2

=

( x1 + x2 )( x1 - x2 )

x1 + x2

=

x1-x2

x1 + x2

，
∵x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，

x1

+

x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在定義域內單調遞增；

點評：本題考查函數定義域的求解、單調性的判斷，屬基礎題，定義是證明函數單調性的基本方法，要熟練掌握．