Question

1．設A，B為拋物線y²=2px（p＞0）上相異兩點，則${|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|^2}-{|{\overrightarrow{AB}}|^2}$的最小值為-4p²．

Answer 1

分析 設A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）．則${|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|^2}-{|{\overrightarrow{AB}}|^2}$=4（x_A•x_B+y_A•y_B），分類討論，結合韋達定理，${|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|^2}-{|{\overrightarrow{AB}}|^2}$=4（a²-2ap）=4[（a-p）²-p²]≥-4p²即可得出結論．

解答 解：設A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）．則$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（x_A+x_B，y_A+y_B），$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$=（x_B-x_A，y_B-y_A），
${|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|^2}-{|{\overrightarrow{AB}}|^2}$=4（x_A•x_B+y_A•y_B），
若直線AB斜率存在，設為y=k（x-a），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-a）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，整理得：k²x²-2（ak²+p）x+k²a²=0，
x_A•x_B=a²，y_A•y_B=k²（x_A-a）（x_B-a）=-2ap，
${|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|^2}-{|{\overrightarrow{AB}}|^2}$=4（x_A•x_B+y_A•y_B）=4（a²-2ap）=4[（a-p）²-p²]≥-4p²，．
若直線不存在，當x_A=x_B=a，y_A=-y_B=$\sqrt{2ap}$時，上式也成立．
故所求最小值為-4p²．
當且僅當直線AB過點（p，0）時等號成立，
故答案為：-4p²．

點評 本題考查了拋物線的簡單幾何性質，考查了學生的計算能力，體現了分類討論的數學思想方法，是中檔題．