Question

【題目】記函數(shù)的定義域?yàn)?/span>D. 如果存在實(shí)數(shù)、使得對(duì)任意滿

足且的x恒成立，則稱為函數(shù).

（1）設(shè)函數(shù)，試判斷是否為函數(shù)，并說明理由；

（2）設(shè)函數(shù)，其中常數(shù)，證明： 是函數(shù)；

（3）若是定義在上的函數(shù)，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線（m為常數(shù)）對(duì)稱，試判斷是否為周期函數(shù)？并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】(1) 是函數(shù)(2)見解析(3) 函數(shù)為周期函數(shù)

【解析】試題分析： 求出的定義域， 對(duì)任意恒成立轉(zhuǎn)化成對(duì)任意恒成立，解出，使得

為函數(shù)只需證明存在實(shí)數(shù)， 使得當(dāng)且時(shí)， 恒成立，化簡求得， ，滿足條件圖象關(guān)于直線對(duì)稱，結(jié)合，整體換元得，從而證明結(jié)論

解析：（1）是函數(shù)

理由如下： 的定義域?yàn)?/span>，

只需證明存在實(shí)數(shù)， 使得對(duì)任意恒成立.

由，得，即.

所以對(duì)任意恒成立. 即

從而存在，使對(duì)任意恒成立.

所以是函數(shù).

（2）記的定義域?yàn)?/span>，只需證明存在實(shí)數(shù)， 使得當(dāng)且時(shí)，

恒成立，即恒成立.

所以，

化簡得， .

所以, . 因?yàn)?/span>，可得， ,

即存在實(shí)數(shù)， 滿足條件，從而是函數(shù).

（3）函數(shù)的圖象關(guān)于直線（為常數(shù)）對(duì)稱，

所以 （1），

又因?yàn)?/span> （2），

所以當(dāng)時(shí)，

由（1）

由（2） （3）

所以

（取由（3）得）

再利用（3）式， .

所以為周期函數(shù)，其一個(gè)周期為.

當(dāng)時(shí)，即，又，

所以為常數(shù). 所以函數(shù)為常數(shù)函數(shù)，

， 是一個(gè)周期函數(shù).

綜上，函數(shù)為周期函數(shù)