Question

設{a_n}是由正數組成的等比數列，S_n是其前n項和．
（1）證明

lgSn+lgSn+2

2

＜lgSn+1；
（2）是否存在常數c＞0，使得

lg(Sn-c)+lg(Sn+2-c)

2

=lg(Sn+1-c)成立？并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）設{a_n}的公比為q，當q=1時根據S_n•S_n+2-S_n+1²求得結果小于0，不符合；當q≠1時利用等比數列求和公式求得S_n•S_n+2-S_n+1²＜0，進而推斷S_n•S_n+2，＜S_n+1²．根據對數函數的單調性求得lg（S_n•S_n+2）＜lgS_n+1²，原式得證．
（2）要使

lg(Sn-c)+lg(Sn+2-c)

2

=lg(Sn+1-c)．成立，則有

(Sn-c)(Sn+2-c)=(Sn+1-c)2 Sn-c＞0

進而分兩種情況討論當q=1時根據（S_n-c）（S_n+2-c）=（S_n+1-c）²求得-a₁²＜0不符合題意；當q≠1時求得（S_n-c）（S_n+2-c）-（S_n+1-c）²=-a₁qⁿ[a₁-c（1-q）]，進而推知a₁-c（1-q）=0，判斷出0＜q＜1，但此時Sn-

a1

1-q

=-

a1qn

1-q

＜0不符合題意，最后綜合可得結論．

解答：（1）證明：設{a_n}的公比為q，由題設a₁＞0，q＞0．
（i）當q=1時，S_n=na₁，從而
S_n•S_n+2-S_n+1²
=na₁•（n+2）a₁-（n+1）²a₁²
=-a₁²＜0
（ⅱ）當q≠1時，Sn=

a1(1-qn)

1-q

，從而
S_n•S_n+2-S_n+1²=

a 2 1 (1-qn)(1-qn+2)

(1-q)2

-

a 2 1 (1-qn+1)2

(1-q)2

=-a₁²qⁿ＜0．
由（i）和（ii）得S_n•S_n+2，＜S_n+1²．根據對數函數的單調性，知
lg（S_n•S_n+2）＜lgS_n+1²，
即

lgSn+lgSn+2

2

＜lgSn+1．
（2）解：不存在．
要使

lg(Sn-c)+lg(Sn+2-c)

2

=lg(Sn+1-c)．成立，則有

(Sn-c)(Sn+2-c)=(Sn+1-c)2 Sn-c＞0.

分兩種情況討論：
（i）當q=1時，
（S_n-c）（S_n+2-c）=（S_n+1-c）²
=（na₁-c）[（n+2）a₁-c]-[（n+1）a₁-c]²
=-a₁²＜0．
可知，不滿足條件①，即不存在常數c＞0，使結論成立．
（ii）當q≠1時，若條件①成立，因為
（S_n-c）（S_n+2-c）-（S_n+1-c）²
=[

a1(1-qn)

1-q

-c][

a1(1-qn+2)

1-q

-c]-[

a1(1-qn+1)

1-q

-c]2
=-a₁qⁿ[a₁-c（1-q）]，
且a₁qⁿ≠0，故只能有a₁-c（1-q）=0，即c=

a1

1-q

此時，因為c＞0，a₁＞0，所以0＜q＜1．
但0＜q＜1時，Sn-

a1

1-q

=-

a1qn

1-q

＜0，不滿足條件②，即不存在常數c＞0，使結論成立．
綜合（i）、（ii），同時滿足條件①、②的常數c＞0不存在，即不存在常數c＞0，使

lg(Sn-c)+lg(Sn+2-c)

2

=lg(Sn+1-c)．

點評：本小題主要考查等比數列、對數、不等式等基礎知識，考查推理能力以及分析問題和解決問題的能力．