Question

設函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R．
（1）解不等式f（x）≤5；
（2）若g(x)=

1

f(x)+m

的定義域為R，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對不等式）|2x-1|+|2x-3|≤5，分x≥

3

2

，

1

2

＜x＜

3

2

和x＜

1

2

三種情況進行討論，轉化為一元一次不等式求解，
把求的結果求并集，就是原不等式的解集．
（2）g(x)=

1

f(x)+m

的定義域為R，轉化為則f（x）+m≠0恒成立，即f（x）+m=0在R上無解，求函數(shù)f（x）的最小值．

解答：解：（1）

x＜ 1 2 4-4x≤5

或

1 2 ≤x≤ 3 2 2≤5

或

x＞ 3 2 4x-4≤5

不等式的解集為x∈[-

1

4

，

9

4

]
（2）若g(x)=

1

f(x)+m

的定義域為R，則f（x）+m≠0恒成立，即f（x）+m=0在R上無解
又f（x）=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-2x+3|=2，f（x）的最小值為2，
所以m＞-2．

點評：問題（1）考查絕對值的代數(shù)意義，去絕對值的過程體現(xiàn)了分類討論的思想方法，屬中檔題；問題（2）考查應用絕對值的幾何意義求最值，體現(xiàn)了轉化的思想，屬中等題．