Question

選修4-5：不等式選講：
若關于x的方程x²-4x+|a-3|=0有實根
（Ⅰ）求實數a的取值集合A
（Ⅱ）若對于?a∈A，不等式t²-2at+12＜0恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得△=16-4|a-3|≥0，由此解絕對值不等式求得實數a的取值集合A
（Ⅱ）令f（a）=-2at+t²+12，則f（a）＜0 恒成立．故 f（-1）＜0 且f（7）＜0，即 2t+t²+12＜0 ①且-14t+t²+12＜0 ②．分別求出①②的解集，再取并集，即得所求．

解答：解：（Ⅰ）∵關于x的方程x²-4x+|a-3|=0有實根，
∴△=16-4|a-3|≥0，即|a-3|≤4，
∴-4≤a-3≤4，∴-1≤a≤7，故實數a的取值集合A={a|-1≤a≤7 }，
（Ⅱ）∵對于?a∈A，不等式t²-2at+12＜0恒成立，令f（a）=-2at+t²+12，則f（a）＜0 恒成立．
故 f（-1）＜0 且f（7）＜0，即 2t+t²+12＜0 ①，且-14t+t²+12＜0 ②．
解①得 t∈∅，解②得 3＜t＜4．
綜上可得，t的取值范圍（3，4）．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，一元二次不等式的解法，函數的恒成立問題，屬于中檔題．