Question

等差數列{a_n}的前n項和為．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項a_n與前n項和S_n；
（Ⅱ）設，{b_n}中的部分項恰好組成等比數列，且k₁=1，k₄=63，求數列{k_n}的通項公式；
（Ⅲ）設，求證：數列{c_n}中任意相鄰的三項都不可能成為等比數列．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據題目條件建立首項和公差的方程組，解之即可求出首項和公差，從而求出數列{a_n}的通項a_n與前n項和S_n；
（II）由（Ⅰ）得，b_n=2n-1，再由已知得等比數列的公比，可建立k_n的解析式；
（III）由（Ⅰ）得，假設數列中存在相鄰三項c_n，c_n+1，c_n+2（n∈N^*）成等比數列，根據等比數列的性質建立等式關系，找出矛盾，從而可求證得數列{c_n}中任意相鄰的三項都不可能成為等比數列．
解答：解：（Ⅰ）由已知得，∴d=2，…（3分）
故．…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=2n-1，…（1分）
再由已知得，等比數列的公比，…（2分）
∴q=5…（2分）∴2k_n-1=5^n-1⇒∴…（2分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）得．…（1分）
假設數列中存在相鄰三項c_n，c_n+1，c_n+2（n∈N^*）成等比數列，
則c_n+1²=c_nc_n+2，即．…（2分）
推出1=0矛盾．所以數列{b_n}中任意不同的三項都不可能成等比數列．…（2分）
點評：本題主要考查了等差數列的性質，以及數列的求和和新數列的判定，屬于中檔題．